Question

数学题高二解析几何

Answer 1

我忘记结论了，只好硬算。其实这题可以直接将选项代入，用正切的和角公式计算即可。
F的坐标为(1,0)，M的坐标为(-1,0)，l的方程为y=k(x-1)。
与抛物线方程联立，得k^2x^2-2(k^2+2)+k^2=0。
设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0)，则有tan∠AMF=y1/(x1+1)，tan∠BMF=-y2/(x2+1)。
由韦达定理知，x1+x2=2(k^2+2)/k^2，x1x2=1。
由题意得∠AMB=60°。
则有tan∠AMB=(tan∠AMF+tan∠BMF)/(1-tan∠AMF·tan∠BMF)。
所以根号3=y1/(x1+1)-y2/(x2+1)/[1+y1y2/(x1+1)(x2+1)]。
又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)，有根号3=2k(x1-x2)/{k^2[x1x2-(x1+x2)+1]+x1x2+(x1+x2)+1}。
又x1-x2=根号[(x1+x2)^2-4x1x2]=4根号(k^2+1)/k^2，所以有
根号3=2k根号(k^2+1)。
解得k=(根号2)/2。
答案是C。
由于明确说了直线l的倾斜角为锐角，所以斜率k>0。否则由对称性可以知道,k=-(根号2)/2也是正确答案。

Answer 2

2p=4，p=2，p/2=1
F（1,0），准线x=-1
过A、B分别做准线的垂线，垂足为G、H，
则AF=AG，BF=BH，设AB（l）与x轴的夹角α
sinα=yA/AF=GM/AG=tanMAG=tanAMF（同位角）；
sinα=|yB|/BF=HM/BH=tanHBM=tanBMF（同位角）；
∠AMF=∠BMF=30°
AM斜率=tan30°=1/√3
AM方程
y=（x+1）/√3
y²=（x+1）²/3=4x
x²+2x+1=12x
x²-10x+1=0
x=[10±√（10²-4）]/2
=[10±√96]/2
=[10±4√6]/2
=5±2√6
xA=5+2√6
yA=2√x=2√[5+2√6]
=2√[(√3）²+2√3√2+（√2））²]
=2√(√3+√2）²
=2(√3+√2）
kAB=2(√3+√2）/（5+2√6-1）
=2(√3+√2）/（4+2√6）
=(√3+√2）/（2+√6）
=(√6+2）/[（2+√6）√2]
=1/√2
根据对称性，或xA=5-2√6，可得另一解
kAB=-1/√2

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