Question

初三·数学

如图，圆O的两条弦AB和CD互相垂直，垂足为P，E为AD的中点，连结EP，并延长EP交BC于F，求证：EF垂直BC。

Answer 1

证明:∵PE是直角三角形ADP斜边上的中线,
∴PE=AE=DE
∴∠A=∠APE=∠BPF
∵弧AC=弧AC
∴∠B=∠D
又∠A+∠D=90度
∴∠BPF+∠B=90度
∴∠PFB=90度
即:EF⊥BC.

Answer 2

连接BD，因为AB过圆心,DC⊥AB与P
所以有DP=PC
所以有三角形DBP=三角形CBP
所以有∠PDB=∠PCB
因为AB过圆心O
所以有∠ADB=90°（书上的概念自己翻）
所以有⊿DBA∽⊿PDA
所以有∠ADP=∠DBA（着一步还可以通过计算角度也可以不需要证明相似就可以）
因为DC⊥AB且AB过圆心O
所以有∠DBA=∠CBA
所以有∠ADC=∠ABC
所以有⊿ADP∽⊿CBP
所以有∠DAB=∠DCA
因为E为中点且DPA=90°（前面证明过）
所以有∠ADC=∠EPD
因为EF与DC相交于P
有∠DPE=∠CPF
所以有∠PBC=∠CEF
所以⊿PBC∽⊿FEC
所以∠EFC=∠CPB=90°
所以EF垂直BC
（里面要多次用到三角形相似，角与角相等。其实几何证明题也就这么些东西等你把思维理顺了其实很简单别看我写了这么多我是怕你不明白写得详细点，还有就是数学大部分是按步骤给分的对与你写详细点没有坏处）
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