Question

高数 微分方程 求解答

Answer 1

求微分方程 x(dy/dx)=yln(y/x)的通解
解：dy/dx=(y/x)ln(y/x)............①
令y/x=u..........②，则y=ux；dy/dx=u+x(du/dx)...........③；
将②③代入①式得：u+x(du/dx)=ulnu; 即有x(du/dx)=u(lnu-1)；
分离变量得：du/[u(lnu-1)]=(1/x)dx；
积分之：∫du/[u(lnu-1)]=∫d(lnu-1)/(lnu-1)=ln(lnu-1)=lncx ;
故得lnu-1=cx；lnu=cx+1，∴u=e^(cx+1)；代入②式即得原方程的通解为：y=xe^(cx+1);

Answer 2

方程可化为
dy/dx=y/x · ln(y/x)
令y/x=u，y=xu
则dy/dx=u+xdu/dx
代入原方程得，
u+xdu/dx=ulnu
xdu/dx=u(lnu-1)
du/[u(lnu-1)]=dx/x
d(lnu)/(lnu-1)=dx/x
ln|lnu-1|=ln|x|+ln|c|
lnu-1=cx
lnu=cx+1
u=e^(cx+1)
即y=xe^(cx+1)