Question

∫∫[e^-(x²+y²-π)]sin(x²+y²)dxdy D:x²+y²≤π 请高人给出详细解答 谢谢

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

∫∫
[e^-(x²+y²-π)]sin(x²+y²)
dxdy
=∫∫
[e^-(r²-π)]sin(r²)
rdrdθ
=e^π∫[0→2π]dθ∫[0→√π]
re^(-r²)sin(r²)dr
=2πe^π∫[0→√π]
re^(-r²)sin(r²)dr
=πe^π∫[0→√π]
e^(-r²)sin(r²)d(r²)
令r²=u，则u：0→π
=πe^π∫[0→π]
e^(-u)sinu
du
下面计算：
∫[0→π]
e^(-u)sinu
du
=-∫[0→π]
sinu
d(e^(-u))
=-e^(-u)sinu
+
∫[0→π]
e^(-u)cosu
du
|[0→π]
=∫[0→π]
e^(-u)cosu
du
=-∫[0→π]
cosu
de^(-u)
=-e^(-u)cosu
-
∫[0→π]
e^(-u)sinu
du
|[0→π]
=e^(-π)
+
1
-
∫[0→π]
e^(-u)sinu
du
将
-∫[0→π]
e^(-u)sinu
du移到等式左边与左边合并后，除以系数得：
∫[0→π]
e^(-u)sinu
du
=
(1/2)e^(-π)
+
1/2
然后代回原积分，得：
原积分=π/2
+
(π/2)e^π