Question

矩阵的幂运算

Answer 1

0次幂是特殊的，是单位矩阵
其他n次幂可以表示成（递归地）n-1次幂和自身的乘积

Answer 2

幂等矩阵的主要性质：
1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；
2.幂等矩阵可对角化；
3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（a）=rank（a）；
4.可逆的幂等矩阵为e；
5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；
6.幂等矩阵a满足：a（e-a)=（e-a）a=0；
7.幂等矩阵a：ax=x的充要条件是x∈r（a）；
8.a的核n（a）等于（e-a）的列空间r（e-a）,且n（e-a）=r（a）。　考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：
1）设
a1，a2都是幂等矩阵，则(a1+a2)
为幂等矩阵的充分必要条件为：a1·a2
=a2·a1
=
0，
且有：r(a1+a2)
=r
(a1)
⊕r
(a2)；n(a1+a2)
=n
(a1)∩n(a2)；
2）设
a1，
a2都是幂等矩阵，则(a1-a2)
为幂等矩阵的充分必要条件为：a1·a2
=a2·a1=a2
且有：r(a1-a2)
=r(a1)∩n
(a2
)；n
(a1
-
a2
)
=n
(a1
)⊕r
(a2
)；
3）设
a1，a2都是幂等矩阵，若a1·a2
=a2·a1，则a1·a2
为幂等矩阵，且有：r
(a1·a2
)
=r
(a1
)
∩r
(a2
)；n
(a
1·a2
)
=n
(a1
)
+n
(a2
)。