函数的连续性
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判断函数的连续性,常规方法利用连续定义去证明行了。
判断f(x)=√x的连续性
当x→0时,很显然有:limf(x)=f(0)=0
所以:
y=√x在点x=0处连续。
如果是选择题或只用给出结论的题
也可以用y=√x在点x=0的导数是否存在来判断,y=√x在点x=0的导数存在,则连续,否则不连续。
附:
一个重要的结论:
一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
(y=√x为初等函数,x=0在其定义域中,它是连续的)
另一结论:
函数在定义域内可导,该函数必定连续;但函数在定义域内连续,该函数就不一定可导
连续的定义:
定义
设函数f(x)
在点x。
的某一邻域内有定义,如果当自变量的增量△x=x-x。
趋于零时,对应的函数的增量△x=f(x-x。)-f(x。)
也趋于零,那么就称函数f(x)
在点x。
连续.
连续的定义又可叙述如下:
设函数
f(x)在点x。的某一邻域内有定义,如果函数f(x)当x→x。时的极限存在,且等于它在点x。
处的函数值f(x。)
即:
当x→x。时,limf(x)=f(x。)
那么就称函数f(x)在点x。连续.
判断f(x)=√x的连续性
当x→0时,很显然有:limf(x)=f(0)=0
所以:
y=√x在点x=0处连续。
如果是选择题或只用给出结论的题
也可以用y=√x在点x=0的导数是否存在来判断,y=√x在点x=0的导数存在,则连续,否则不连续。
附:
一个重要的结论:
一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
(y=√x为初等函数,x=0在其定义域中,它是连续的)
另一结论:
函数在定义域内可导,该函数必定连续;但函数在定义域内连续,该函数就不一定可导
连续的定义:
定义
设函数f(x)
在点x。
的某一邻域内有定义,如果当自变量的增量△x=x-x。
趋于零时,对应的函数的增量△x=f(x-x。)-f(x。)
也趋于零,那么就称函数f(x)
在点x。
连续.
连续的定义又可叙述如下:
设函数
f(x)在点x。的某一邻域内有定义,如果函数f(x)当x→x。时的极限存在,且等于它在点x。
处的函数值f(x。)
即:
当x→x。时,limf(x)=f(x。)
那么就称函数f(x)在点x。连续.
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