Question

PA垂直平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=根号3,点F是PB的中点,点E在边BC上移动

（1）求三棱锥E-PAD的体积
（2）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由
（3）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE垂直AF

Answer 1

（1）∵AB⊥PA，AB⊥AD，
∴BA⊥平面PAD，
又BC//AD，∴E到平面PBA的距离等于BA
已知PA=AB=1,AD=√3,
∴三棱锥E-PAD的体积=(1/3)BA·S△PDA=(√3)/6
（2）∵E是BC的中点，F是PB的中点，
∴EF是△PBC的中位线
∴EF‖PC
从而 EF‖平面PAC
（3）∵PA=AB，PA⊥AB，F是PB的中点
∴ AF⊥PB
∵BC⊥AB，BC⊥PA
∴BC⊥平面PAB
∴PB是PE在平面PAB上的射影
由三垂线定理，AF⊥PE