Question

高一数学函数问题、在线等、加分哦、不是很难、跪谢！！

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且f（-x）= - f（x） ，当x∈（0，1）时，f（x）=2的x次幂/（4的x次幂+1）。

（1）.求f（x）在[-1,1]上的解析式；

（2）.证明f（x）在（0，1）上是减函数；

（3）.当λ取何值时，方程f（x）=λ在[-1,1]上有解。

此题为佛山市高一月考题、我吉林的、感觉好难、跪求！！！

分数没问题、！！

Answer 1

解：（1）x∈（0，1）时，-x∈（-1，0），
又f（-x）= - f（x）＝－2的x次幂/（4的x次幂+1)，令-x＝t,得x=-t代入
f（-x）＝－2的x次幂/（4的x次幂+1)整理得
f（t）=－2的t次幂/（4的t次幂+1),所以，当x∈（－1，0）时，
f（x）=－2的x次幂/（4的x次幂+1）。
又定义在R上的奇函数有f(0)=0,故x=0时，f(x)=0
由f（x+2）=f（x），取x=-1代入得f(1)=f(-1),由于已知函数为奇函数，应该有f(-1)=-f(1),故得f(1)=f(-1)＝0
综上得f(x)在[-1,1]上的表达式为分段函数即：
x∈（0，1）时，f（x）=2的x次幂/（4的x次幂+1）。
x∈（－1，0）时，f（x）=－2的x次幂/（4的x次幂+1）。
x∈｛－1,0，1｝时，f(x)=0
(2)证明：设0＜x1＜x2＜1，
f(x1)-f(x2)=[2的x1次幂/（4的x1次幂+1）]-[2的x2次幂/（4的x2次幂+1）]
将等式右边通分整理得
f(x1)-f(x2)=[（2的x2次幂－2的x1次幂）×（2的(x1＋x2)次幂-1)]/[(4的x1次幂+1)×(4的x2次幂+1)]
由x1＜x2及指数函数性质可得上式f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
故f（x）在（0，1）上是减函数；
（3）当λ＝0时，f（x）=0在[-1,1]上有三个解，即x=-1,0,1
当λ>0时，f（x）=λ,由（1）中的函数表达式得：
2的x次幂/（4的x次幂+1）＝λ，整理得：λ×4的x次幂-2的x次幂+λ=0
即：λ×2的2x次幂-2的x次幂+λ=0此为以2的x次幂为未知数的一元二次方程，
由判别式△≥0且两根均为正数得：
△＝1－4×λ的平方≥0，解此不等式得：－1/2≤λ≤1/2，又λ>0，
故0＜λ≤1/2
当λ＜0时，f（x）=λ,由（1）中的函数表达式得：
－2的x次幂/（4的x次幂+1）＝λ，整理得：λ×4的x次幂＋2的x次幂+λ=0
即：λ×2的2x次幂＋2的x次幂+λ=0此为以2的x次幂为未知数的一元二次方程，
由判别式△≥0且两根均为正数得：
△＝1－4×λ的平方≥0，解此不等式得：－1/2≤λ≤1/2，又λ＜0，
故－1/2≤λ＜0
综上可知，当－1/2≤λ≤1/2时，方程f（x）=λ在[-1,1]上有解。

Answer 2

for 0<x<1
-x ∈ ( -1, 0)

f(x) = -f(-x)
= - [ 2^(-x)/(4^(-x) + 1) ]
= -4^x/[ 2^x(4^x+1)]
= -2^x/(4^x+1)

f(0） = -f(0)
=> f(0) = 0

f(x) = 2^x/(4^x+1) for 0<x≤1
= 0 for x=0
= -2^x/(4^x+1) for -1≤<x<0

for 0<x<1
f'(x) = -2^x(ln 4) 4^x/ (4^x+1)^2 + (ln2)2^x/ (4^x+1)
= [-2^x(ln 4) 4^x + (4^x+1).2^x.(ln2)]/(4^x+1)
= 2^x ln2(1-2^x)/(4^x+1) < 0

f is decreasin on (0,1)

Similarly, we have -1<x<0
f'(x) >0
f is increasng on (-1,0)

f（x）=λ
f(x)-λ = 0
let g(x) = f(x) - λ
g(x) = 2^x/(4^x+1) - λ 0<x≤1
= - λ for x=0
= -2^x/(4^x+1) - λ for -1≤x<0

λ= 0 ， g(0) = f(0) =0 , g(x) =0 ( with solution )
if λ > 0
g(0) < 0 ( no solution )

if λ < 0
g(0) > 0
g(-1) < 0
g(-1) =-2^(-1)/(4^(-1)+1) - λ <0
-4/2(4+1) - λ <0
λ > -2/5

or g(1) < 0
g(1) = 2/(4+1) - λ <0
λ > 2/5 ( rejected)

ie -2/5 <λ <0 or λ =0
=> -2/5 <λ ≤0

Answer 3

奇，偶函数性质利用好了，很简单。

Answer 4

jtouiod