Question

设A,B,C是三角形ABC的三个内角,求证：sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

Answer 1

sinA +sinB = 2sin([A+B]/2)Xcos([A-B]/2)
设 A = 2x ,B= 2y
sin 2x + sin 2y = 2 sin (x+y) cos(x-y)
用x 代替 A ,y 代替 B
sin 2A + sin 2B = 2 sin(A+B) cos(A-B) .1
as A+B+C = 180
A+B = 180-C
所以
sin (A+B) = sin (180-C)= sin C
代入 1 式
sin 2A + sin 2B = 2 sin C cos(A-B)
add sin 2c to both sides
等式左边
sin 2A + sin 2B + sin2C = 2 sin C cos (A-B) + 2 sin C cos C
= 2 sin C(cos (A-B) + cos (180-(A+B))
因为 C= 180 - (A+B)
= 2 sin C(cos(A-B) - cos (A+B))
= 2 sin C( cos A cos B + sin A sin B -( cos A cos B - sin A sin B)
使用 cos(A+B) 及 cos(A-B) 展开式
= 2 sin C( 2 sin A sin B)
= 4 sin A sin B sin C
= 等式右边
所以,得证