Question

余弦定理的证明方法

Answer 1

余弦定理的证明方法，内容如下：

如图，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝bcosC，AD＝bsinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即

AB2＝(a-bcosC)2＋(bsinC)2

＝a2-2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2

＝a2-2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2-2abcosC。

当C重合于D时，在Rt△ABC中，

∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。

当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所

示，∠ACD＝180°-C，cos∠ACD＝cos(180°-C)＝

-cosC，sin∠ACD＝sin(180°-C)＝sinC，

所以CD＝bcos(180°-C)＝-bcosC，

AD＝b sin(180°-C)＝b sinC，

在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，

即AB2＝(a-bcosC)2＋(bsinC)2

＝a2-2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2

＝a2-2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2-2abcosC。