Question

设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求函数y=f(x+a)+f(x-a)的定义域

Answer 1

∵函数f(x)的定义域为[0，1]，
在f(x+a)中，0≤x+a≤1，即-a≤x≤1-a，
在f(x-a)中，0≤x-a≤1，即a≤x≤1+a，
∴函数y=f(x+a)+f(x-a)的定义域就是集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集.

（1）当a>1/2时，1-a<a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，
∴此时，函数y没有意义；

（2）当0≤a≤1/2时，-a≤a≤1-a≤1+a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|a≤x≤1-a}，
即函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}；

（3）当-1/2≤a<0时，a<-a≤1+a<1-a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|-a≤x≤1+a}，
即函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；

（4）当a<-1/2时，1+a<-a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，
∴此时，函数y没有意义.

综上，当a>1/2 ，或a<-1/2时，函数y没有意义，
当-1/2≤a<0时，函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；
当0≤a≤1/2时，函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}.

Answer 2

∵函数f(x)的定义域为[0，1]，
在f(x+a)中，0≤x+a≤1，即-a≤x≤1-a，
在f(x-a)中，0≤x-a≤1，即a≤x≤1+a，
∴函数y=f(x+a)+f(x-a)的定义域就是集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集.
（1）当a>1/2时，1-a<a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，
∴此时，函数y没有意义；
（2）当0≤a≤1/2时，-a≤a≤1-a≤1+a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|a≤x≤1-a}，
即函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}；
（3）当-1/2≤a<0时，a<-a≤1+a<1-a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|-a≤x≤1+a}，
即函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；
（4）当a<-1/2时，1+a<-a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，
∴此时，函数y没有意义.
综上，当a>1/2
，或a<-1/2时，函数y没有意义，
当-1/2≤a<0时，函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；
当0≤a≤1/2时，函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}.

Answer 3

∵函数f(x)的
定义域
为[0，1]，
在f(x+a)中，0≤x+a≤1，即-a≤x≤1-a，
在f(x-a)中，0≤x-a≤1，即a≤x≤1+a，
∴函数y=f(x+a)+f(x-a)的定义域就是集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集.
（1）当a>1/2时，1-a
1/2
，或a<-1/2时，函数y没有意义，
当-1/2≤a<0时，函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；
当0≤a≤1/2时，函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}.

Answer 4

f(x+a)的定义域为[a,1+a]
f(x-a)的定义域为[-a,1-a]
由于x+a 和x-a都是它的定义域
所以y的定义域为它们的并集
即[a,1+a]∪[-a,1-a]

Answer 5

∵函数f(x)的定义域为[0，1]，
在f(x+a)中，0≤x+a≤1，即-a≤x≤1-a，
在f(x-a)中，0≤x-a≤1，即a≤x≤1+a，
∴函数y=f(x+a)+f(x-a)的定义域就是集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集.
（1）当a>1/2时，1-a<a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，
∴此时，函数y没有意义；
（2）当0≤a≤1/2时，-a≤a≤1-a≤1+a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|a≤x≤1-a}，
即函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}；
（3）当-1/2≤a<0时，a<-a≤1+a<1-a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|-a≤x≤1+a}，
即函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；
（4）当a<-1/2时，1+a<-a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，
∴此时，函数y没有意义.
综上，当a>1/2
，或a<-1/2时，函数y没有意义，
当-1/2≤a<0时，函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；
当0≤a≤1/2时，函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}.