Question

高中数学应用题（9位清华高材生都没做出来）！！

某工厂有214名工人，要生产1500件产品，每件产品由3个A零件和1个B零件组成。每工人加工5个A与加工1个B所用时间相同。现将工人分2组，分别加工A和B，同时开始。加工A零件的有x人，单位时间内加工了5K件，加工完A所需时间为g(x)；另一组加工完B用时为h(x).2组完成总任务用时为f(x).
1)写出f(x)的解析式
2）怎样分组才能使任务完成最快？
有过程和必要的解释说明，谢了~

Answer 1

解 由题设，每个工人在单位时间内加工5k个A零件，所以x个工人在单位时间内加工5k·x个A零件。总共需要1500×3个A型零件，所以,g(x)= = 。

单位时间内加工B型零件的个数为3k个，所以 h(x)= 。

（1）g(x)－h(x)= － = ∵1≤x<214,x∈N，

所以：(i)当1≤x≤137时，g(x)>h(x)

(ii)当138≤x≤213时，g(x)<h(x)

即当x≤137时，加工A型这一组所用的时间多；当x≥138时，加工B型这一组所用的时间多。要完成任务必须使两组全完成才能完成任务，故完成总任务时间是：

f(x)=
（2）要使任务完成最快，|g(x)－h(x)|应最小，令g(x)－h(x)=0，得x=137 。

∵x∈N，∴需比较x=137和138时，|g(x)－h(x)|的大小。

经比较，加工A型零件有137人，加工B型零件有77人时，完成任务的用时最少。

另外可以这样考虑，要使任务完成最快，即求函数f(x)的最小值。

当1≤x≤137，x∈N时

f(x)= ，显然x=137时，f(x)最小。

故f(x) ≥ (1≤x≤137,x∈N)。

当138≤x≤213时

f(x)= ，显然x=138时，f(x)最小。

故 f(x) ≥ 。

而 － = >0

故得当加工A型零件137人，加工B型零件77人时，完成总任务的用时最少。

符号无法复制，请看例2
http://www.pkuschool.com/teacher/details.asp?TopicAbb=directions&FileName=g303sxb439aa01.htm