Question

极坐标方程r(1+cosθ+)=6化为直角坐标方程？

Answer 1

将极坐标方程 $r(1+\cos\theta)=6$ 转化为直角坐标方程的步骤如下：

首先，根据极坐标和直角坐标之间的关系 $x=r\cos\theta$ 和 $y=r\sin\theta$，我们可以将极坐标方程中的 $r$ 和 $\cos\theta$ 用直角坐标表示，得到：

$$(x^2+y^2)(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})=6$$

其中，$\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\cos\theta$。然后，我们可以通过对方程进行化简来得到直角坐标方程。首先，将分式 $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的分母用勾股定理展开为 $\sqrt{x^2+y^2}$，得到：

$$(x^2+y^2)(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})=6(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}$$

然后，将分式 $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 乘以分子分母的共轭得到：

$$\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}-y}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}-y}$$

代入原方程，得到：

$$(x^2+y^2)\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}-y}\right)=6(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}$$

将左侧的括号中的分式乘以分子分母的共轭，得到：

$$(x^2+y^2)\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x-y}{\sqrt{x^2+y^2}-y}\right)=6(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}$$

将方程两侧的 $(x^2+y^2)$ 相除并移项，得到：

$$y=\frac{2x-3\sqrt{x^2+y^2}}{3}$$

因此，极坐标方程 $r(1+\cos\theta)=6$ 对应的直角坐标方程为 $y=\frac{2x-3\sqrt{x^2+y^2}}{3}$。