Question

曲线的方程

Answer 1

曲线的方程和方程的曲线是在掌握了曲线方程的基础上定义的,在直角坐标系中,某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的解建立如下关系:

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;

(2)以这个方程的解为坐标的点均在曲线上。那么曲线C为方程f(x,y)=0的曲线,方程f(x,y)=0为曲线C的方程,上述条件缺一不可。这个定义,实质上是曲线C上的点的坐标与方程f(x,y)=0的解之间的一种一一对应关系。

即:曲线上的所有点的坐标都是这个方程的解,以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,曲线和方程的统一必具有上述条件。

建立了这个概念,几何问题和代数问题就可以互相转化,点与曲线的位置关系圳点的坐标与曲线方程的关系;曲线和曲线的位置关系圳两个曲线方程的关系,即所组成的方程级的解的情况。曲线和方程是同一事物的两种不同表达形式,即“形”与“数”之间的一种对应。

曲线的性质反映在方程上,因此,可由方程来研究曲线的性质,这恰为解析几何中解决问题的基本思想。