Question

已知正整数a+b满足a3-b3=ab+61,求a+b的值

Answer 1

a^3-b^3=ab+61
(a-b)(a^2+ab+b^2)=ab+61,
设a-b=x,ab=y,a,b是正整数，则
x是整数，y是正整数，a^2+ab+b^2=x^2+3y,上式化为
x(x^2+3y)=y+61,
整理得（3x-1）y=61-x^3,
y=(61-x^3)/(3x-1),①
y>0化为两个不等式组：
1）3x-1>0,且61-x^3>0,解得1/3<x<61^(1/3),整数x=1,2,3;
2)3x-1<0,且61-x^3<0,无解。
把x=1代入①，得y=30;
把x=2代入①，得y=53/5,舍；
把x=3代入①，得y=34/8，舍。
所以(a+b)^2=x^2+4y=121,a+b>0,
所以a+b=11.