Question

2的（1/x）次方大于x的a次方，x∈（0,1）求实数a的范围

是x∈（0,1）都成立

Answer 1

解：

2^(1/x)＞x^a

x∈(0,1)时，x^a是正的，2^(1/x)也是正数

用log(a,b)表示a为底b的对数

两边取自然对数，得

ln2^(1/x)＞ln(x^a)

∴(1/x)*ln2＞a*lnx

(1/a)*ln2＞xlnx

令y=xlnx

∴y'=(lnx)+1=ln(ex)

∴x∈(0,1/e)时，y'＜0，xlnx递减，

x∈(1/e,1)时，y'＞0，xlnx递增

∴ymin=(1/e)*ln(1/e)=-1/e

ymax=0

∴1/a＜(xlnx)/(ln2)

xlnx＜0，ln2＞0

∴(xlnx)/(ln2)＞0

∴a＜0时是恒成立的……①

(xlnx)/(ln2)∈(-1/(eln2)，0)

∴当a＞0时，若要恒成立，则1/a≤-1/(eln2)

∴a≥-eln2……②

综上所述，a的取值范围是：(-∞，0)∪[-eln2，+∞)

此即所求

谢谢

Answer 2

*2的（1/x）次方大于x的a次方，x∈（0,1）求实数a的范围
解析：设f(x)=2^(1/x)
F’(x)=2^(1/x)*ln2*(-1/x^2)<0，函数f(x)单调减
f(1)=2
设g(x)=x^a
g’(x)=ax^(a-1)
当a>0时，g’(x)>0，函数f(x)单调增
g(1)=1
∴当x∈（0,1）时，2^(1/x)>x^a，恒成立

当a<0时，g’(x)<0，函数f(x)单调减
令2^(1/x)= x^a
二边取对数1/x*ln2=alnx
∴a=ln2/(xlnx)
设h(x)= ln2/(xlnx)
H’(x)= -ln2(lnx+1)/(xlnx)^2
令-ln2(lnx+1)=0==>lnx=-1==>x=1/e
函数h(x)在x=1/e处取极大值-eln2
∴当x∈(0, 1/e] 2^(1/x)<x^a; 当x∈(1/e,1) 2^(1/x)>x^a;
∴当a∈(-eln2,+ ∞)时，2^(1/x)>x^a，恒成立

Answer 3

设1/x=t
x∈（0,1）t∈(1,+无穷)
则 原式为
2^t>(1/t)^a
2^t>1/t^a
t^a>1/2^t
t^a>(1/2)^t
(1/x)^a>(1/2)^t
f(x)=(1/x)^a>(1/2)^(1/x)=g(x)
当0<x<1时,由于1/x>0所以f(x)在(负无穷,0)上恒<g(x)
所以a应该>0在(0,正无穷)f(x)恒大于g(x)
0<x<1时 1/x>1 x属于（0,1）对应了(1/2)^t的t>1