Question

分解因式方法及 例题（超详细）

越多越好！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

1. ( 2分) 判断正误:

分解因式:

(x2-y2-z2)2-4y2z2

＝(x+y-z)(x-y+z)(x+y+z)(x-y-z)

( )

2. ( 2分)

判断正误:

分解因式:a2+b2-2ab-4＝(a-b-2)(a-b+2)

( )

3. ( 2分)

判断正误:

分解因式:a4-3a2-4＝(a-2)(a+2)(a2+1)

( )

4. ( 2分) 判断正误:

分解因式: a2+19a+60＝(a+15)(a+4)

( )

5. ( 2分)

判断正误:

873-763是11的倍数

( )
6. ( 2分) 判断正误:

分解因式: 1-abcd+ac-bd＝(1+ac)(1+bd)

( )

7. ( 3分)

判断正误:

因式分解:-am-1+14am-49am+1 ＝-am-1(1-7a)2

( )

8. ( 3分)

判断正误:

分解因式: 2(a2-3mn)+a(4m-3n)＝(a+2m)(2a-3n)
( )

9. ( 3分)

判断正误:

分解因式: am+3-amb3＝am(a-b)(a2+ab+b2)

( )

10. ( 3分) 选作题: 判断正误

分解因式: a3+2a2+3a+2＝(a+1)(a2+a+2)

( )

11. ( 3分)

判断正误:

分解因式: a2-b2+m2-n2+2(am-bn)＝(a+m+b +n )(a+m-b -n )

( )

12. ( 3分) 判断正误:

分解因式: x2(x+1)-y(xy+x)＝x(x-y)(x+y+1)

( )

13. ( 3分)

判断正误:

分解因式: (x+1)4-2(x2-1)2+(x-1)4-(x2+3)2＝(x-3)(x-1)(x+3)(x+1)

( )

二、单选题。(共 34 分)

14. ( 2分) 分解因式: (x-3)(3x-2)-7(x-3)的结果是

[ ]

A. 3(x-3)(x-3)

B. (x-3)(3x-9)

C. 3(x-3)2

D. 3(x-3)

15. ( 2分) 下列变形中, 属于因式分解的是

[ ]

A.(a+b)(a-b)＝a2-b2

B.x2-y2+4y-4＝(x+y)(x-y)+4(y-1)

C.a3-b3＝(a-b)(a2+ab+b2)

D.a2-10a+10＝a(a-10)+10

16. ( 2分) 分解因式: 2x3+16等于

[ ]

A.(x+2)(x2-2x+4) B.2(x+2)(x2+2x+4)

C.2(x+2)(x2-2x+4) D.2(x+2)(x2-2x-4)

17. ( 2分)

因式分解: 3x2-3y2等于

[ ]

A.(x-y)(x+y) B.3(x-y)(x+y)

C.3(x-y)2 D.3(x2-y2)
18. ( 2分)

xn-ym分解因式为(x-y)(x2+xy+y2),那么m、n的值是

[ ]

A. m＝3, n＝3 B. m＝2, n＝2

C. m＝3, n＝2 D. m＝4, n＝4

19. ( 2分)

因式分解: a2-20a+100等于

[ ]

A.(a+10)2 B.(a-1)2

C.(a-10) D.(a-10)2

20. ( 2分) 因式分解: x2-4y2+x+2y等于

[ ]

A.(x+2y)(x-2y+1) B.(x-2y)(x-2y+1)

C.(x+2y)(x+2y+1) D.(x+2y)(x-2y-1)

22. ( 3分) 因式分解：10(y+2)2-29(y+2)+10为

[ ]

A. (2y-1)(5y+8) B. (2y+1)(5y+8)

C. (y-2)(5y+8) D. (2y+1)(5y-8)
23. ( 3分)

分解因式: a6+a4-a2-1

[ ]

A.(a-1)3(a+1)3 B.(a+1)2(a-1)2

C.(a2+1)2(a+1)(a-1) D.(a2+1)2(a+1)
24. ( 3分)

将x2+2xy+y2+2x+2y-3因式分解等于

[ ]

A.(x+y-3)(x+y-1) B.(x-y+3)(x-y-1)

C.(x+y+3)(x+y-1) D.(x+y+3)(x-y+1)

25. ( 3分)

分解因式: 2x3n-12x2ny2+18xny4等于

[ ]

A.2xn(xn-3y2)2 B.2xn(xn-3y2)

C.xn(2xn-6y2)2 D.2x(xn-3y2)2

26. ( 3分) 选作题: 将多项式16x8-1在有理数范围内分解因式, 正确的结果是:

[ ]

A.(4x4+1)(4x4-1)

B.(4x4+1)(2x2+1)(2x2-1)

C.(2x2+1)2(2x2-1)2

D.(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)(2x2+1)(2x2-1)

27. ( 3分) 多项式 am-1-am+2+am+am+1的公因式是:

( )

A.am B.am-1 C.am+1 D.am+2

三、填空题。(共 16 分)

28. ( 2分) 已知: a-b＝1, 则 a3-b3-3ab＝_______

29. ( 2分) 当 x＝-1, a＝296, b＝-307, c＝2009时, x(a+b-3c)-(3c-a-b)的值是____.

31. ( 2分) 利用因式分解计算

已知: x＝5.4, y＝4.6, 则(x+y)(x2-xy+y2)+(x2-4y2)(x+y)的值是_______.

32. ( 2分) 利用因式分解计算:

已知: x＝7.6, y＝-3.8, 则3x2+2xy-8y2的值是_______.

33. ( 2分) 已知 a-b-c＝-5, 则 a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)的值是____________.

34. ( 2分) 已知 o＜a≤5, 且a为整数, 若2x2+3x+a能用十字相乘法分解因式, 则a的值是______________.

35. ( 2分) 已知: a+2b＝100, a-2b＝0.01, 则 5a2-20b2的值是_________.

Answer 2

因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解：令y= x +2x -5x-6
作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)