Question

如图,已知RT△ABC,∠ABC=90°,以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD （1）若AD=3，BD=4，求边BC的

（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切

Answer 1

（1）AB是直径=》角ADB=90度 AB^2=AD^2+BD^2=3*2+4^2=25 =>AB=5
三角形ABD相似于三角形BCD=>AB/BC=AD/BD 5/BC=3/4 BC=20/3
(2)连OD
OD是Rt三角形ABD的中线=》OB=OD=》角OBD=角ODB;DE是Rt三角形BDC的中线=》
角EBD=角EDB
又因为角OBD+角DBE=90度=》角ODB+角BDE=90度 OD是半径=》ED与⊙O相切

Answer 2

1）角ADB=90° AB^2=AD^2+BD^2=3*2+4^2=25 =>AB=5
三角形ABD相似于三角形BCD得到
AB/BC=AD/BD 5/BC=3/4 BC=20/3
(2)连OD
∵OD是Rt三角形ABD的中线=》OB=OD=》角OBD=角ODB;DE是Rt三角形BDC的中线
∴角EBD=角EDB
又因为角OBD+角DBE=90度=》角ODB+角BDE=90度 OD是半径，所以ED与⊙O相切

Answer 3

（1）解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC．
∵AD=3，BD=4，
∴AB=5．
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△ABD∽△ACB，
∴BD/AD=BC/AB，
即4/3=BC/5，
∴BC=20/3；

（2）证明：连接OD，∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
又E是BC的中点，BD⊥AC，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD．
∴ED与⊙O相切．

Answer 4

△ADB与△ABC相似可以求出AC的长度。BC长度
然后可以得出DC长度和EC长度。
DC/AC=EC/BC
可以得出AB平行于DE 平行于直径又过圆上一点的线必切。

Answer 5

（1）证明：连接OD．
∵OD=OB（⊙O的半径），
∴∠OBD=∠BDO（等边对等角）；
∵AB是直径（已知），
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ADB=∠BDC=90°；
在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴BE=CE=DE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠DBE=∠BDE（等边对等角）；
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，
∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90°（等量代换）；
∵点D在⊙O上，
∴ED与⊙O相切；
（2）在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=4，
∴AB=5（勾股定理）；
在Rt△BDC和Rt△ADB中，∠ADB=∠BDC=90°，∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠BCD，
∴△BDC∽△ADB，
∴
BC
AB
=
BD
AD
．即
BC
5
=
4
3
，
∴BC=
20
3 ．