Question

0/0型求极限的实质

以前就对不定式的求极限感到些疑惑。上了洛必达法则后更加。。为什么洛必达法则只适用于不定式。不定式求极限的实质是什么。无限靠近该点的导数比吗？

Answer 1

设lim(α/β)是0/0型，那么α，β都是无穷小量；从宏观看是不定式，但从二者趋于0的过程看，却
远非如此。因为其极限值与二者趋于0的速度有关。当α趋于0的速度比β趋于0的速度快，那么α
就是比β高阶的无穷小量，因此lim(α/β)=0；若二者趋于0的速度相同，那么lim(α/β)=1，即α与β
是等价的无穷小量；若二者趋于0的速度基本一致，那么lim(α/β)=a≠1，那么α，β就是同阶的无
穷小量；如果α趋于0的速度比β趋于0的速度慢很多，则lim(α/β)=∞，即α是比β低阶的无穷小量。
洛必达法则正是把两个无穷小量之比变为它们的导数之比，而导数正好是函数的瞬时变化率，也
就是运动的速度。这就是洛必达法则之所以成立的最本质的原因。

追问

哇.碰到高手了.敢问您应该是数学老师或者这方面的学者吧..那乘此机会我再多问两句.就是为什么只有在不定式的时候才能用洛必达法则？确定式我试过几个。有些答案一样，有些不一样，好像看出些什么，但不能完整的总结出来。求指教！

追答

你说的很对！洛必达法则只适用于0/0和∞/∞两种情况(其实后一种∞/∞情况，把它改写成：
∞/∞=(1/∞)/(1/∞)=0/0，就是第一种情况；下面为述说简便只说0/0).
如果不是0/0，比如是0/a，或a/0(这里a≠0)，α/β中至少有一个不是无穷小，洛必达法则失效。

事实上也没有必要再用洛必达法则，因为0/a=0，a/0=∞。

追问

结合您的第一个回答，确定式在某个X值是有确定的极限取值，未定式由于无法确定而使用趋向于某X值时两函数的导数比（速度）来确定该极限值，又因为非无穷小函数有确定值。不需用导数来表示，所以不用洛必达法则，这样理解和总结对吗？

追答

正确的回答是：对于非0/0或∞/∞型的极限不能也无必要使用洛必达法则。主要是不能用，用必错。