Question

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过点M作ME//AD交BA的延长线于点E，交AC于点F.

求证：BE=CF=1/2（AB+AC）

Answer 1

证明：

过B作BN//AC交EM延长线于N点
∴CF=BN  ∠CFM=∠N

又AD//ME  AD平分∠BAC,∠E=∠DAB
∴∠CFM=∠DAC=∠E
∴∠E=∠N
∴ BE=BN=CF

∵∠EFA=∠CFM
∴∠E=∠EFA
∴ AE=AF

∴  AB+AC=AB+（AF+FC）=AB+AE+FC=BE+FC
∴  BE=CF=1/2（AB+AC） 

Answer 2

证明：在EM延长线上取点H，使MH＝MF，过点C作CG∥ME交BE的延长线于点G，连接BF、CH∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∵MN∥AD∴∠AEF＝∠BAD，AFE＝∠CAD∴∠AEF＝∠AFE∵M是BC的中点∴BM＝CM∵MH＝MF∴平行四边形FBHC∴BH∥AC，BH＝CF∴∠BHE＝∠AFE∴∠BHE＝∠AEF∴BH＝BE∴BE＝CF∵CG∥AD∴∠G＝∠AEF，∠ACG＝∠AFE∴∠G＝∠ACG∴AG＝AC∴BG＝AB+AG＝AB+AC∵MN∥AD，CG∥AD∴CG∥MN又∵M是BC的中点∴中位线ME∴BE＝BG/2＝（AB+BC）/2∴BE＝CF