Question

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点A（-3,0）,B（1,0）,C（0,-3）

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

1) A、B、C三点的坐标代入解析式得：9a-3b+c=0，a+b+c=0，c=-3。c=-3代入前2式得：9a=3b+3，a=3-b，解方程组得：a=1，b=2。
所以抛物线的解析式为：y=x²+2x-3。
2）因为P点在第三象限所以设P点坐标（-m，-n)，(m、n>0)。三角形PAC的面积S=P点到直线AC的距离*AC。要使S最大，AC距离已固定，那么只能是P点到直线AC的距离最大。
设直线AC的解析式y=kx+b，A、C坐标代入得：3k=b，b=-3，k=-1。所以直线AC的解析式为：y=-x-3。-n=m²-2m-3。那么P点到直线AC的距离=|-m-n+3|/根号（1+1）=|m²-2m-3-m+3|/根号2=|m²-3m|/根号2=|m(m-3)|/根号2。因为P点在第三象限，所以在抛物线上在A点和c点之间。-3<-m<0。所以0<m<3。所以|m（m-3)|/根号2=m（3-m）/根号2<=[(m+3-m)/2]²/根号2=9/（4根号2）当m=3-m时，即m=3/2时，等式成立，即取得最大值。m=3/2，n=-(9/4-3-3)=15/4。则P点坐标为（-3/2，-15/4)。
3）存在，抛物线顶点D的坐标为(-1-4)。当角A或角D是直角时，M即是过A或D点与AD垂直的直线交y轴的点。设直线AD解析式为：y=kx+b，代入A、D点的坐标得：-3k+b=0，-4=-k+b。解方程组得：k=-2，b=-6。则AD得解析式为y=-2x-6。当MA垂直AD时，设MA的直线方程为y=kx+b
则k=-1/(-2)=1/2，A点坐标代入得：b=3/2。解析式为：y=1/2x+3/2与y轴交于M（0，3/2）点。
当MD垂直AD时，直线方程为y=1/2x-9/2与y轴交于M点（0，-9/2)点。
当AM垂直MD时，因为M在Y轴上，所以设M点坐标（0，M）所以AM²=9+M²，MD²=1+(M+4)²=M²+8M+17，AD²=4+16=20。AM²+MD²=AD²，M²+9+M²+8M+17=20，2M²+8M+6=0，
(M+2)²=-2不成立。
所以M点的坐标为（0，3/2）或（0，-9/2)。

Answer 2

2013中考数学真题攀枝花