Question

已知函数f(x)=loga^x,记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1],若g(x)在区间[1/2,2]上是增函数,求 a的取值围答案（0，1/2

Answer 1

a＞1时，设loga^x=t，则t∈[loga^1/2,loga^2],根据同增异减法则，就是函数y=t(t+loga2-1)=t^2+(loga2-1)t 在[loga^1/2,loga^2]上是增函数,根据二次函数性质,有：-（loga2-1)/2≤loga^1/2, loga^a/2≤loga^1/4
a≤1/2,这与a＞1矛盾。
0＜a＜1时，设loga^x=t，则t∈[loga^2，loga^1/2],根据同增异减法则，就是函数y=t(t+loga2-1)=t^2+(loga2-1)t 在[loga^2，loga^1/2]上是减函数,根据二次函数性质,有：loga^1/2≤-（loga2-1)/2, loga^1/4≤ loga^a/ 2
a≤1/2, 又 0＜a＜1 ，所以 0＜a≤1/2
综上可知，m∈（0,1/2]

Answer 2

f(x)=loga^x
g(x)=loga^x*[loga^x+2loga^2-1] (令loga^x=t)
=t*(t+2loga^2-1)
对称轴:t=1/2-loga^2
当a1时,由1/2x2得,loga^(1/2)tloga^2
因为y= g(x)在区间〔1/2,2〕上是增函数
所以y=t*(t+2loga^2-1)在loga^(1/2)tloga^2上是增函数。
所以1/2-loga^2=loga^(1/2),解得：a无解。
当0a1时，由1/2x2得,loga^2tloga^（1/2）
因为y= g(x)在区间〔1/2,2〕上是增函数
所以y=t*(t+2loga^2-1)在loga^2tloga^（1/2）上是减函数。
所以1/2-loga^2=loga^(1/2),解得：0a1
综上，0a1

Answer 3

g(x)的增区间为g'(x)>0时x的取值范围即g'(x)=2loga^x*(1/x)*loga^e+(1/x)*loga^e(loga^2-1)>0时x的范围，解题过程如下：
由g'(x)>0可得：
(loga^x*x+loga^2-1)/x>0
当x>0时，
1:0<a<1时，有2x*x<a 解得-根号a/2<x<根号a/2 所以有根号a/2>2即a>8与0<a<1矛盾，舍去。
2：a>1时，有2x*x>a 解得根号a/2<1/2 所以有a<=1/2.与a>1矛盾，舍去。
当x<0时，
1:0<a<1时，有2x*x>a 解得根号a/2<1/2 所以a<1/2 结合0<a<1得0<a<1/2.
2:a>1时，有根号a/2>2 所以有a>8 结合a>1有a>8.
综上所述，0<a<1/2或a>8.