Question

高等代数，请教

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• 系统奖励15（财富值+成长值）+难题奖励20（财富值+成长值）

Answer 1

Answer 2

(1)
对任意 x ∈ V，A (x - Ax) = Ax - A^2 x = 0，所以 x - Ax ∈ Ker(A)
所以 {x - Ax : x ∈ V} 包含在 Ker(A) 中。

又因为对任意 y ∈ Ker(A)，y = y - Ay，也就是 y 可以写成 x - Ax 的形式，只需令 x = y 即可。
所以 {x - Ax : x ∈ V} = Ker(A)

(2)
作为一个幂等矩阵 A，设 A 的秩为 r，
则 Im(A) 的维数为 r，Ker(A) 的维数是 n-r。

任意 y ∈ Im(A)，存在 x，使得 y = Ax

Ay = A (Ax) = Ax = y
所以，y 在特征值 1 对应的特征子空间中。
所以 Im(A) 包含在特征值 1 对应的特征子空间中。

任意 y ∈ Ker(A)，A y = 0
所以，y 在特征值 0 对应的特征子空间中。
所以 Ker(A) 包含在特征值 0 对应的特征子空间中。

又因为 Im(A) 和 Ker(A) 的维数之和是 n，
所以 A 只有 1 和 0 两个特征值，它们对应的特征子空间分别是：
r 维的 Im(A) 和 n-r 维的 Ker(A)

特征子空间之间相互垂直，是直和，所以 V = Im(A) ⊕ Ker(A)