Question

已知二次函数y=mx 2 +（m-3）x-3（m＞0）的图象如图所示．（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x 1 ，0）、B

已知二次函数y=mx 2 +（m-3）x-3（m＞0）的图象如图所示．（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x 1 ，0）、B（x 2 ，0）（x 1 ＜x 2 ），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵y=mx 2 +（m-3）x-3=（mx-3）（x+1）， ∴x 1 =-1，x 2 = 3 m ， ∴AB= 3 m -（-1）=4， 即m=1； ∴y=x 2 -2x-3， 得A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）， ∴∠OBC=45°，∠AMC=90°， ∵AC= 1 2 + 3 2 = 10 ， ∵AM=CM， ∴AM= AC 2 = 5 ， ∴R= 5 ，S= 5 4 π． （2）设PD与BC的交点为E，可求直线BC解析式为y=x-3， 设P（x，x 2 -2x-3）；当S △BED ：S △BEP =1：2时，PD=3DE， 得-（x 2 -2x-3）=-3（x-3），解得x=2或3， ∴ x=2 y=-3 或 x=3 y=0 （舍去）， ∴P（2，-3）； 当S △PBE ：S △BED =1：2时，同理可得P（ 1 2 ，- 15 4 ）， 故存在P（2，-3）或P（ 1 2 ，- 15 4 ）．