Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足a n +S n =2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证数列{a n }

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足a n +S n =2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证数列{a n }中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；（3）若从数列{a n }中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S满足 ，这样的等比数列有多少个？

Answer 1

解：（1）当n=1时，a 1 +S 1 =2a 1 =2，则a 1 =1． 又a n +S n =2， ∴a n+1 +S n+1 =2， 两式相减得 ， ∴{a n }是首项为1，公比为 的等比数列， ∴ （2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap+1，aq+1，ar+1（p＜q＜r） 则 ， ∴22 r﹣q =2 r﹣p+1 （*） 又∵p＜q＜r ∴r﹣q，r﹣p∈N* ∴（*）式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立 ∴假设不成立原命题得证． （3）设抽取的等比数列首项为 ，公比为 ，项数为k， 且满足m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1， 则 又∵ ∴ 整理得： ① ∵n≥1 ∴2m﹣n≤2m﹣1． ∴ ∴m≤4 ∵ ∴ ∴m≥4 ∴m=4将m=4代入①式，整理得 ∴n≤4 经验证得n=1，2不满足题意，n=3，4满足题意