Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且asinA+（a+b）sinB=csinC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=1，求

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且asinA+（a+b）sinB=csinC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）已知等式asinA+（a+b）sinB=csinC，利用正弦定理化简得：a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=-

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=

2π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，
而c=1，故1=（a+b）²-ab≥（a+b）²-(

a+b

2

)2=

3

4

（a+b）²，
∴a+b≤

2 3

3

，
又a+b＞c=1，
∴2＜a+b+c≤

2 3

3

+1，
即2＜l≤

2 3

3

+1．