Question

（本小题共12分） 在三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中，底面是边长为 的正三角形，点 A 1 在底面 ABC 上的

（本小题共12分） 在三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中，底面是边长为 的正三角形，点 A 1 在底面 ABC 上的射影 O 恰是 BC 的中点.（1）求证：面 A 1 AO 面 BCC 1 B 1 ;（2）当 AA 1 与底面成45°角时，求二面角 A 1 — AC—B 的大小；（3）若 D 为侧棱 AA 1 上一点，当 为何值时， BD ⊥ A 1 C 1 .

Answer 1

arctan2,

证明：（1）连AO, ∵⊿ABC为正三角形, ∴AO⊥BC. 又∵A 1 O⊥面ABC，∴A 1 O⊥BC，∴BC⊥面A 1 AO ∴面A 1 AO⊥面BCC 1 B 1          ………4分 （2）过O作OE⊥AC于E，连A 1 E， ∵A 1 O⊥面ABC， ∴ ，∴∠A 1 EO即为所求的平面角. ∵正⊿ ABC 的边长为 ,∠A 1 AO=45°, ∴  ． ∴二面角A 1 —AC—B的大小为arctan2 ．             …………8分 （3）过D作DF//A 1 O交AO于F，则DF⊥面ABC， 连BF，要使BD⊥A 1 C 1 ，只要使BF⊥AC， ∵⊿ABC为正三角形, ∴只要F为△ABC的中心即可， ∴ 时，BD⊥A 1 C 1 ．            …………12分