Question

如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边

如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，点P的运动速度是点Q的5倍，设运动的时间为t秒．点Q的横坐标x（单位长度）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示．（1）请写出点Q开始运动时的坐标及点P的运动速度；（2）当点P在边AB上运动时，求△OPQ的面积最大时点P的坐标；（3）如果点P，Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D→A匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，直接写出所有符合条件的t的值．

Answer 1

（1）由图②可知：
当t=0时，x=1，此时点Q的坐标为（1，0）；V_Q=

9?1

8

=1（单位长度/秒）
∵点P的运动速度是点Q的5倍，
∴点P运动速度为每秒钟5个单位长度．

（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，如图①，
则BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，AB＝

82+62

＝10．
过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，如图①，
∴PM∥BF．
∴△APM∽△ABF．
∴

AP

AB

＝

AM

AF

＝

MP

BF

．
∴

5t

10

＝

AM

6

＝

MP

8

．
∴AM=3t，PM=4t．
∴PN=OM=10-3t，ON=PM=4t．
设△OPQ的面积为S（平方单位），
则S＝

1

2

(10?3t)(1+t)＝?

3

2

t2+

7

2

t+5（0≤t≤2）．
∵a＝?

3

2

＜0，
∴当t＝?

7 2

2×(? 3 2 )

＝

7

6

时，△OPQ的面积S最大．
此时PM=4×

7

6

=

14

3

，OM=10-3×

7

6

=

13

2

，
则P的坐标为（

14

3

，

13

2

）．

（3）∵OP=PQ，PN⊥OQ，
∴ON=NQ=

1

2

OQ．
∴x_P=

1

2

x_Q．
①当点P在AB上时，此时0≤t≤2，如图①，
4t=

1

2

（1+t）．
解得：t=

1

7

．
∵0≤

1

7

≤2，
∴t=

1

7

符合要求．
②当点P在BC上时，此时2＜t≤4．
过点P作PK⊥BF交于K，如图③，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°．
∴∠ABF=90°-∠PBK=∠BPK．
∵∠AFB=∠PKB=90°，
∴△AFB∽△BKP．
∴

AB

BP

=

AF

BK

．
∴

10

5t?10

=

6

BK

．
∴BK=3t-6．
∴x_P=8+3t-6=3t+2．
∴3t+2=

1

2

（1+t）．
解得：t=-

3

5

∵-

3

5

＜2，
∴t=-

3

5

不符合要求，故舍去．
③当点P在DC上时，此时4＜t≤6．
过点C作CH⊥BF交于H，过点P作PS⊥CH交于点S，如图④，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵∠AFB=∠BHC=90°，
∴∠ABF=90°-∠CBH=∠BCH．
在△AFB和△BHC中，

∠AFB＝∠BHC ∠ABF＝∠BCH AB＝BC

．
∴△AFB≌△BHC．
∴BH=AF=6，CH=BF=8．
同理可得：PS=4t-16．（与②中求BK的方法相同）
∴x_P=8+6-（4t-16）=30-4t．
∴30-4t=

1

2

（1+t）．
解得：t=

59

9

．
∵

59

9

＞6，
∴t=

59

9

不符合要求，故舍去．
④当点P在AD上时，此时6＜t≤8．
过点P作PT⊥AF交于T，如图⑤，
同理可得：PT=24-3t．（与②中求BK的方法相同）
∴x_P=24-3t．
∴24-3t=

1

2

（1+t）．
解得：t=

47

7

．
∵6≤

47

7

≤8，
∴t=

47

7

符合要求．
综上所述：当t＝

1

7

或t＝

47

7

时，OP与PQ相等．