Question

已知函数f（x）=a（2cos2x2+sinx）+b（1）若a=-1，求f（x）的单调增区间；（2）若x∈[0，π]时，f（x）的

已知函数f（x）=a（2cos2x2+sinx）+b（1）若a=-1，求f（x）的单调增区间；（2）若x∈[0，π]时，f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值．

Answer 1

f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=

2

asin（x+

π

4

）+a+b，
（1）当a=-1时，由2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3

2

π，得2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5

4

π，
∴f（x）的单调增区间为[2kπ+

π

4

，2kπ+

5

4

π]（k∈Z）；
（2）∵0≤x≤π，∴

π

4

≤x+

π

4

≤

5

4

π，
∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，依题意知a≠0，
分两种情况考虑：
1°当a＞0时，

2 a+a+b＝8 b＝5

，
∴a=3（

2

-1），b=5；
2°当a＜0时，

b＝8 2 a+a+b＝5

，
∴a=-3（

2

-1），b=8，
综上所述：a=3

2

-3，b=5或a=3-3

2

，b=8．