Question

已知tan（ π 4 +α）=2，求：（1）tanα的值；（2）sin2α+sin 2 α+cos2α的值

已知tan（ π 4 +α）=2，求：（1）tanα的值；（2）sin2α+sin 2 α+cos2α的值．

Answer 1

（1）tan（ π 4 +α）= 1+tanα 1-tanα =2， ∴tanα= 1 3 ． （2）解法一：sin2α+sin 2 α+cos2α=sin2α+sin 2 α+cos 2 α-sin 2 α =2sinαcosα+cos 2 α = 2sinαcosα+ cos 2 α 1 = 2sinαcosα+ cos 2 α sin 2 α+ cos 2 α 2sinαcosα+ cos 2 α sin 2 α+ cos 2 α = 2tanα+1 tan 2 α+1 = 3 2 ． 解法二：sin2α+sin 2 α+cos2α=sin2α+sin 2 α+cos 2 α-sin 2 α =2sinαcosα+cos 2 α．① ∵tanα= 1 3 ， ∴α为第一象限或第三象限角． 当α为第一象限角时，sinα= 1 10 ，cosα= 3 10 ，代入①得 2sinαcosα+cos 2 α= 3 2 ； 当α为第三象限角时，sinα=- 1 10 ，cosα=- 3 10 ，代入①得 2sinαcosα+cos 2 α= 3 2 ． 综上所述sin2α+sin 2 α+cos2α= 3 2 ．