Question

已知：如图，在△ABC中，如果∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=12∠A．求证：BD=CE

已知：如图，在△ABC中，如果∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=12∠A．求证：BD=CE．

Answer 1

证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．
∵CG⊥BE，BF⊥CD，
∴∠F=∠CGB=90°，
在△BCF和△CBG中，

∠F＝∠CGB＝90° ∠DCB＝∠EBC BC＝BC

，
∴△BCF≌△CBG（AAS），
∴BF=CG，
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，
∠BEC=∠ABE+∠A，
∴∠BDF=∠BEC，
∵在△BDF和△CEG中，

∠F＝∠CGE ∠GEC＝∠FDB BF＝CG

，
∴△BDF≌△CEG（AAS），
∴BD=CE．

证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点．
∵在△BDC和△CFB中，

∠FCB＝∠DBC BC＝BC ∠FBC＝∠DCB

∴△BDC≌△CFB（SAS），
∴BD=CF，∠BDC=∠CFB，
∴∠ADC=∠CFE，
∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，
∠FEC=∠A+∠ABE，
∴∠ADC=∠FEC，
∴∠FEC=∠CFE，
∴CF=CE，
∴BD=CE．