Question

离散数学： 设<G,*>是一个群，H是其子群，R={<a,b >:a,b∈G∧a*b^-1∈H}，证明R是G上的等价关系

Answer 1

设 R 是集合 A 上的一个二元关系，若R满足：

自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R

对称性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R

传递性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R

则称 R 是定义在 A 上的一个等价关系。设 R 是一个等价关系，若(a, b) ∈ R，则称 a 等价于 b，记作 a ~ b 。
因此，只要证明到R有上面的三性，就可以了。

追问

这算完整答案吗？

追答

照这个思路去证明。过程不复杂

R={:a,b∈G∧a*b^-1 ∈H },对a，b没有特殊要求
（1）令b=a，代入 R={:a,a∈G∧a*a^-1 ∈H }
成立，具有反身性
（2）令a=b，b=a（交换）
R={:b,a∈G∧b*a^-1 ∈H }
成立
（3）
R={:a,b∈G∧a*b^-1 ∈H }
R={:b,c∈G∧b*c^-1 ∈H }
a*c=a*b^-1*b*c^-1
H是G的子集， a*b^-1，b*c^-1 ∈H，因此， a*b^-1，b*c^-1 ∈G，满足R关系， a*b^-1*b*c^-1 ∈H