Python 为什么不解决四舍五入的“bug”
2017-11-07 · 百度知道合伙人官方认证企业
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因为二进制浮点数不能解决这个问题。
先看一个现象，和 round 无关的：
>>> def show(x):... """打印一个数，20 位精度"""... print('{:.20f}'.format(x))...>>> show(1.5)1.50000000000000000000>>> show(1.25)1.25000000000000000000>>> show(1.245)1.24500000000000010658>>> show(1.45)1.44999999999999995559>>> show(1.415)1.41500000000000003553
从数学上看，一个既约分数（有理数）n/d 要表示为 B 进制数，如果 d 的所有素因子都整除 B，就说明存在一个整数 k，使得分母 d 整除 B^k——比如 q * d = B^k，于是此时有 n/d = n / (B^k / q) = nq / B^k，也就是说 n/d 可以使用至多 k 位数的 B 进制小数有限表示。
反之，也容易证明，如果 d 有素因子不能整数 B，那么就不存在上面的 k，也就是说有理数 n/d 不可能由有限位数的 B 进制数表示。——也就是说会出现循环小数。
对于 10 进制数，所有分母只有素因子 2 和 5 的有理数，都能表示为有限小数。比如 1/2 是 0.5，1/4 是 0.25，1/5 是 0.2，3/8 是 0.375，都是有限的。
而对于 2 进制数，分母里面只有素因子 2 的有理数，才能表示为有限小数。所以 1/2 是 0.1，1/4 是 0.01，3/8 是 0.011。但 1/5 就不能用有限二进制数表示了，是个循环小数 0.0011 0011 0011……。
（什么，你问无理数？小学生都知道无理数是无限不循环小数。）
现在：
计算机的浮点数是用小数表示的。浮点数就是科学计数法，指数部分是个整数，尾数部分是个小数。
计算机的存储是有限的，所以只能使用有限位数的小数表示。
计算机硬件通常是用二进制运算的。
具体到 Python 的 float，C/C++ 的 float/double，都是有限长度的、二进制、浮点数。准确地说，是这个：IEEE floating point
现在问题来了。人写程序用十进制数，计算机运行程序用二进制数，怎么办？转换呗。
从概念上说，就是我写：
a(10) = 0.5
计算机读：
a(2) = 0.1
我写：
b(10) = 0.375
计算机读
b(2) = 0.011
可如果我写
c(10) = 0.2
计算机就只能读成了有限位数，比如 12 位：
c(2) = 0.0011 0011 0011（咔嚓切断）
其实这个被截断保留 12 位二制制位的数用十进制表示是 0.199951171875，已经不准了。你说不对呀这个小了，最后一位能不能加上去，让计算机读成
c(2) = 0.0011 0011 0100（进了一位）
这个数用十进制表示则是 0.2001953125，又大了。
——实际的计算机中，python 的 float 是用 64 位浮点数，其中 53 位是尾数部分，误差小得多了，但还是不可能没有。
所以，计算机在把人写的程序转换为内部代码的时候，就必须做十进制到二进制的转换。这个转换就已经不得不带来误差了。当然，像前面说的，不是所有的数都有误差，0.5、3.75、78.625 都不会有误差，但简单的 0.2、3.15 就会有进制转换误差。
所以，在开始计算 round 这个四舍五入的函数之前，在程序刚被读入计算机时，这个变量的值早已经不精确了。round 又能解决什么问题？
话说回来，round 本身在一些情况下是准确的。比如 0.5、1.5、2.5、3.5 这些数，都能用有限位二进制数表示，它们直接 round 的结果也都是准确的，不过使用的不是四舍五入而是无偏算法（把 0.5 向偶数而不是向上舍入，这里指 Python 3）。round 在另一些情况下又可能是不准确的，因为 Python 的 round 有两个参数，第二个参数表示舍入到第几位，就需要对原数先计算再舍入，就不准确了。
如果让 Python 减慢速度，也在内部用十进制表示和计算，就不会出现进制转换和移位这种来源的舍入误差，此时做舍入运算或输入输出就是精确的了。虽然这不能防止其他计算（比如除法、三角函数）带来的误差，但在一些场合，比如金融算钱的时候，还是非常有用的。在 Python 里面可以用 decimal 包来使用十进制浮点数，避免输入输出的带来的进制转换误差，按十进制移位时除法带来的误差等。
