Question

已知被积函数∫f（x）的一个原函数是F（x），F（x）恒大于零，且F（x）×f（x）=x, 求f（x）

谢谢了，，不好意思刚才漏了一个条件：F（0）=1

Answer 1

解：∵∫f(x)的一个原函数是F(x)
∴F'(x)=f(x)
∵F(x)*f(x)=x
∴F(x)*F'(x)=x ==>F(x)d(F(x))=xdx
==>(F(x))²/2=x²/2+C/2 (C是积分常数)
==>(F(x))²=x²+C
∵F(x)恒大于零
∴F(x)=√(x²+C) ==>F'(x)=x/√(x²+C)
故f(x)=F'(x)=x/√(x²+C) (C是积分常数)。

Answer 2

F'(x) = f(x), F(x)> 0 for all x, F(x)f(x) = x

F(x) f(x) = x
∫F(x) f(x) dx =∫x dx
∫F(x)dF(x) = x^2/2
(F(x))^2 /2 = x^2/2
( F(x))^2 = x^2
F(x) = ±x + C

f(x) = F'(x) = ±1