Question

SOS！！！数学高手进！

定义在R上的函数f（x）满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy. (x,y属于R)，f（1）=2
求f（-3）
感激不尽！ 我想知道解题的思路是怎样的 在线等

Answer 1

当x=y时，f(2x)=2f(x)+2x^2, x=0时，f(0)=2f(0），f(0)=0
当x=-y时，f(0)=f(x)+f(-x)-2x^2, f(-x)=2x^2-f(x) x=-3,f(-3)=18-f(3)
而f(3)=f(1)+f(2)+2=4+f(2) f(2)=2f(1)+2=6 所以f(3)=10
f(-3)=18-f(3)=18-10=8
这种题目要想着 x=y x=-y x=1/y 以及0 1 -1等特殊值

Answer 2

对于这种 任意的x，y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy 的 可以用赋值法，也就是说，既然x,y是任意的都成立，那么我们想用什么来代都是成立的， 所以要求
f(-3)就可以让 x=-1 y=-2 这样的话还要求出f(-1) f(-2)的值。而f(-2) 可以让 x=-1 y=-1就可以转化 为f(-1).
到这里我们只要求出f(-1)就可以了。而已知是f(1)=2，所以让式子中的x=1,y=-1,代入就搞定了。
这种题求法的基本思路就是这样，包括要判断奇偶性，和周期 也是这样子求的。