Question

1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6，这个怎么证明，简单过程清晰一点，谢谢

Answer 1

an
= n^2
=n(n+1) - n
=(1/3)[ n(n+1)(n+2) -(n-1)n(n+1)] - (1/2)[n(n+1) - (n-1)n]
a1+a2+...+an
=(1/3)n(n+1)(n+2) -(1/2)n(n+1)
=(1/6)n(n+1)( 2(n+2) - 3)
=(1/6)n(n+1)( 2n+1)

Answer 2

平方和的推导利用立方公式：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1 ①
记Sn=1²+2²+....+n²， Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2
对①式从1~n求和，得：
∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1
(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n
这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6

举一反三，这个办法可以依次用来得到高次数列的求和通式。

追问

对①式从1~n求和，得：
∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1，这个不太明白

1式中，1~n求和的意思是当n=1，2，3，，，，n的和吗

那为什么∑(n+1)³-n³=(n+1)³-1呢

追答

对，常数项不变，每次增加该数值。∑1得到n个1。

∑【(n+1)³-n³】有个括号，进行n项求和时，每一项都能消去相邻项，所以最终只剩下第一项目的减去部分、最高项的增加部分，也就是∑【(n+1)³-n³】=(n+1)³-1