Question

用定义证明极限

请用定义证明以下极限，见图。谢谢！

Answer 1

• 如何证明nq^n的极限是0   (|q|<1)

• 优质解答

• 记 a=1/|q|,则 a>1,记 a=1+h,有 h>0,且
  a^n = (1+h)^n > C(n,2)(h)^2 = [n(n-1)/2](h)^2,
  于是,有
  0 < |n(q^n)| < n/(a^n) < 1/{[(n-1)/2](h)^2} → 0 (n→∞),
  据夹逼定理,可知
  lim  n(q^n) = 0.   (n->infinity)

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• 如何证明nq^n的极限是0   (|q|<1)

• 优质解答

• 记 a=1/|q|,则 a>1,记 a=1+h,有 h>0,且
  a^n = (1+h)^n > C(n,2)(h)^2 = [n(n-1)/2](h)^2,
  于是,有
  0 < |n(q^n)| < n/(a^n) < 1/{[(n-1)/2](h)^2} <ε  (n→∞),

• 解不等式：1/{[(n-1)/2](h)^2} <ε  得到n的范围。

• 既往这样的n，让1/{[(n-1)/2](h)^2} <ε  ，当然可以：

• |n(q^n)| <ε 
  ,可知
  limn(q^n) = 0.

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对于n^3,只要(1+h)^n>C(n,4)(h)^4

以下基本相同。