Question

关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x∈R)，有下列命题:①由f(x1)=...

关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x∈R)，有下列命题: ①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍; ②若x1，x2∈(-π6，π12)，且2f(x1)=f(x1+x2+π6)，则x1＜x2; ③函数的图象关于点(-π6，0)对称; ④函数y=f(-x)的单调递增区间可由不等式2kπ-π2≤-2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)求得. 正确命题的序号是②③②③.

Answer 1

解答:解:对于①.令2x+
π
3
=kπ，得到x=
kπ
2
-
π
6
(k是整数)，
由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是
π
2
的整数倍，故①错误;
对于②.f(x)=4sin(2x+
π
3
)，
求解得f(-
π
6
)=0，f(
π
12
)=1，周期T=π.
则[-
π
6
，
π
12
]为f(x)的第一个
1
4
周期(此周期内f(x)单调增大于0).
设x1，x2 的取值区间为D，
2f(x1)=2sin(2x1+
π
3
)
f(x1+x2+
π
6
)=sin(2x1+2x2+
2π
3
)
由于cos(2x1+
π
3
)在D中取值范围为(0，1)，得
sin(2x1+2x1+
2π
3
)=2sin(2x1+
π
3
)cos(2x1+
π
3
)＜sin(2x1+2x2+
2π
3
)
即sin(2x1+2x1+
2π
3
)＜sin(2x1+2x2+
2π
3
)
又，在D中f(x)性质如上述，由单调性有x1＜x2.故②正确;
对于③.令2x+
π
3
=kπ，得到x=
kπ
2
-
π
6
(k是整数)，当k=0时，得到x=-
π
6
，
所以函数y=f(x)的图象关于点(-
π
6
，0)对称.故③正确;
对于④.函数y=f (-x)=4sin(-2x+
π
3
)，
若求其增区间，只需让-2x+
π
3
在正弦函数的减区间内即可，故④不正确.
所以正确的命题的序号是②③.
故答案为②③.