Question

求梯形中阴影部分的面积

梯形ABCD的上底AD为18cm高AB为15cm，E是BC上的点，且BE等于AD， 连接AC、DE，
相交于 f，求阴影部分三角形Dfc的面积。

Answer 1

首先，可以通过勾股定理计算出梯形BCDE的底长CE：

$$
\begin{aligned}
CE^2 &= BC^2 - BE^2 \\
&= (AD-BC)^2 - AD^2 \\
&= -2AD \cdot BC + BC^2 \\
&= (BC-AD)^2 - AD^2 \\
&= (BC-AD+AD)(BC-AD) - AD^2 \\
&= (BC-18) \cdot (BC-AD) - AD^2 \\
&= (BC-18) \cdot (BC-15) - 18^2
\end{aligned}
$$

根据相似三角形的性质，可得到以下比例关系：

$$\frac{fc}{DC} = \frac{EC}{BC}$$

由于$BE = AD$，因此有$BC - EC = AD$，代入上式得：

$$\frac{fc}{DC} = \frac{EC}{BC} = \frac{BC - AD}{BC} = 1 - \frac{AD}{BC}$$

又因为$DC = AB = 15$，$BC = CE + BE = CE + AD = \sqrt{(BC-18) \cdot (BC-15)} + 18$，因此可以求得$fc$：

$$fc = DC \cdot \left(1 - \frac{AD}{BC}\right) = 15 \cdot \left(1 - \frac{15}{\sqrt{(BC-18) \cdot (BC-15)} + 18}\right)$$

最终，阴影部分三角形Dfc的面积为：

$$S_{\triangle Dfc} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot fc = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \left(1 - \frac{15}{\sqrt{(BC-18) \cdot (BC-15)} + 18}\right)$$

将BC的值带入上式中即可计算出阴影部分的面积。