Question

根号1+x^2的不定积分

Answer 1

具体回答如下：

令x=tant，t∈(-π/2,π/2)

√(1+x²)=sect，dx=sec²tdt

∫√(1+x²) dx

=∫sec³t dt

=∫sect d(tant) 

=sect*tant-∫tant d(sect) 

=sect*tant-∫tan²t*sectdt 

=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt 

=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt 

∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)

=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C 

原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

结果是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

x = sinθ，dx = cosθ dθ

∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ

= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C

= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C

= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C

= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

以上内容参考来源：百度百科-不定积分

Answer 3

令x=tant,t∈(-π/2,π/2),则√(1+x²)=sect, dx=sec²tdt
∫√(1+x²) dx
=∫sec³t dt
=∫sect d(tant)
=sect*tant-∫tant d(sect)
=sect*tant-∫tan²t*sectdt
=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt
=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt

∴∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)
=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C

∴原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C
C为任意常数

Answer 4

C+x+(1/3)*x^3
C为常量。