Question

如图，抛物线y=ax2-2ax+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，4）．？

Answer 1

解题思路：（1）要求a、c的值需要运用待定系数法将点A、B的坐标代入解析式就可．
（2∵平移后为菱形，先要根据勾股定理AB的长，就可以判断需要平移的单位数，然后将原解析式化为顶点式，写出新解析式就可以了．
（3）要求△APO周长最小时PB的长，实际上轴对称问题，找到O点关于A′B的对称点O′，求出该点的坐标，然后求出O'A的解析式，再求出P点的坐标，利用距离公式求出PB的长．
（1）由题意得：

0＝9a−6a+c
4＝c
解得：

a＝−
4
3
c＝4
∴抛物线的解析式为：y＝−
4
3x2 +
8
3x+4
即y＝−
4
3(x−1)2+
16
3
∴a=−
4
3，c=4

（2）∵四边形A A′B′B为菱形
∴AA′=A′B′=B′B=BA，由勾股定理得，
AB=5
∴抛物线向右平移了5个单位
∴平移后抛物线的解析式为：y＝−
4
3(x−6)2+
16
3

（3）连接A′B，作点O关于A′B的对称点O′交A′B于点C，连接O′A交A′B于点P．
设直线A′B的解析式为：y=kx+b，得

4＝b
0＝8k+b
解得：

k＝−
1
2
b＝4
∴直线A′B的解析式为：y＝−
1
2x+4
在直角三角形A′OB中，由勾股定理得
A′B=4
5，由三角形面积公式得OC=
8
5
5，设点C（x，−
1
2x+4）
由勾股定理得：C（[8/5，
16
5]），利用三角形的中位线定理求得
O′（[16/5，
32
5]）
设O′A的解析式为y=kx+b，得

32
5＝
16
5k+b
0＝3k+b解得

k＝32
b＝−96
∴O′A的解析式为：y=32x-96
∴O′A与直线A′B的交点坐标为：P（[40/13，
32
13]）
由两点间的距离公式得，PB=
20
5
13．
,10,如图，抛物线y=ax 2-2ax+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，4）．
（1）求a、c的值；
（2）将上述抛物线向右平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，当四边形A A′B′B为菱形时，求平移后的抛物线的函数关系式；
（3）连接A′B，设点P是线段A′B上的一个动点，连接OP、AP，求当△AOP的周长取最小值时BP的长．