根号下4- x^2的定积分是多少?

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根号下4-x^2的定积分是x*√(4-x^2)/2+2arcsin(x/2)+C。

解:∫√(4-x^2)dx 

=∫√(2^2-x^2)dx 

那么令x=2sint,则

∫√(4-x^2)dx =∫√(2^2-x^2)dx 

=∫(2cost)d(2sint)

=4∫cost*costdt

=4∫(cos2t+1)/2dt

=2∫cos2tdt+2∫1dt

=sin2t+2t+C

=2sintcost+2t+C

又x=2sint,则sint=x/2,cost=√(4-x^2)/2,t=arcsin(x/2)

所以∫√(4-x^2)dx =2sintcost+2t+C

=x*√(4-x^2)/2+2arcsin(x/2)+C

扩展资料:

1、基本三角函数之间的关系

(sinx)^2+(cosx)^2=1、cos2x=2(cosx)^2-1=1-2(sinx)^2、(cosx)^2=(cos2x+1)/2、

(sinx)^2=(1-cos2x)/2、sin2x=2sinxcosx

2、不定积分的换元法

(1)凑微分法

通过凑微分,最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

例:∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C

(2)通过根式代换法或者三角代换法进行求解

例:∫sinxcosxdx=∫sinxdsinx=1/2sin²x+C

例:∫√(1-x^2)dx,通过令x=sint可得,∫costdsint=∫(cost)^2dt=∫(1/2+cos2t/2)dt

=1/2t+1/4sin2t+C=1/2t+1/2sintcost+C

把sint=x,cost=√(1-x^2)即t=arcsinx代入得

∫√(1-x^2)dx=1/2arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C

3、常用积分公式

∫1dx=x+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C、∫sec²xdx=tanx+C

参考资料来源:百度百科-不定积分

匿名用户
2023-01-10
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设x=2sint
则dx=d2sint=2costdt
2^2-x^2
=2^2-2^2sint^2
=2^2cost^2
∫√(2^2-x^2)dx
=∫2cost*2costdt
=2^2∫cost^2dt
=2^2∫(cos2t+1)/2dt
=∫(cos2t+1)d2t
=(sin2t+2t)+C
将x=2sint代回
∫√(2^2-x^2)dx=x√(4-x^2)/2+2*arcsin(x/2)/2+C
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