Question

已知函数f（x）=ax+xlnx．？

Answer 1

解题思路：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（2）解对数不等式求得即可；
（3）由题意得问题等价于 k＜ f(x) x−1]=[x+xlnx/x−1]对任意x＞1恒成立，令g（x）=[x+xlnx/x−1]，利用导数求得函数的最小值即可得出结论．
（1），当a=1时．f（x）=x+xlnx．∴f′（x）=2+lnx，
∴f′（1）=2，f（1）=1，
∴切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1…（2分）
（2）∵f（x）=ax+xlnx，又函数的定义域为（0，+∞），
∴f（x）＜0⇔a+lnx＜0，∴x∈（0，e-a）…（4分）
（3）由a=1时，对x∈（1，+∞）时，直线y=k（x-1）恒在函数y=f（x）的图象下方得，
问题等价于k＜
f(x)
x−1=[x+xlnx/x−1]对任意x＞1恒成立．…（5分）
令g（x）=[x+xlnx/x−1]，∴g′（x）=[x−2−lnx
(x−1)2，
令h（x）=x-2-lnx，故h（x）在（1，+∞）上是增函数，
由于h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0
所以存在x0∈（3，4），使得h（x0）=x0-2-lnx0=0．
则x∈（1，x0）时，h（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，
即x∈（1，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0
知g（x）在（1，x0）递减，（x0，+∞）递增…（10分）
又g（x0）＜g（3）=
3/2(ln3+1)＜g（4）=2+2ln4，所以kmax=3．…（12分）

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数切线方程、单调性、最值等性质，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．

1年前
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（1）当a=1时，函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＜0时，解不等式f（x）＜0；
（3）当a=1时，对x∈（1，+∞），直线y=k（x-1）恒在函数y=f（x）的图象下方．求整数k的最大值．