Question

面积方法在几何计算中的妙用

Answer 1

用面积法解几何问题主要体现在用面积相等证明线段相等,用拆镇芹分面积求线段的长,用拆分面积及面积公式求线段的和,用面积法证明"三角形内角平分线性质定理",用面积法证明"射影定理".

这个叫做面积方法的秘诀，只是基于如下事实：

定理（共边定理）如果是直线和直线的交点，则 ¯:¯=[]:[]。

共边定理的叙述绝旅如非常简单，但运用得当，可以按部就班地解决许多平面几何问题。注意到，定理中等式的左边包含交点，而右边则与无关。从这种意义上说，共边定理消除了交点，降低了表达式¯:¯的复杂度。

我们先看如何用共边定理证明一个经典定理。

定理（帕普斯定理）设分别是两条直线上的三个点，如果的交点，的交点，的交点，则共线。

为了应用共边定理，我们将证明三点共线的问题转化为计算线段比例的问题。的交点，2是的交点。我们只需要计算和并证明它们相等，这样1和2重合，也就是说共点，即共线。

文初提到的《新概念几何》的作者张景中院士与另外两位合作者曾发表文章 Machine Proofs in Geometry，其中描述了如何自动生成人能读懂的几何定理证明，这之中，面积方法发挥了重要作用。以上两个经典定理的证明自然被收录其中。

笛卡尔发现直角坐标系，将所有平面几何问题转化为了代数问题。但通常对应的代数问题较并启为复杂，暴算缺乏美感。纯几何的证明，辅助线的添加，有时似神来之笔，需要大量积累。面积方法可谓是介于两者之间。当然，实际解决问题的过程中，见机使用效果更佳。