Question

已知集合P=[1/2,2],，函数y=log2(ax^2-2x+2)的定义域为Q, 1.若P∩Q≠空集，求实数取值范围。 2 若方程log2

已知集合P=[1/2,2],，函数y=log2(ax^2-2x+2)的定义域为Q,
1.若P∩Q≠空集，求实数取值范围。
2 若方程log2(ax^2-2x+2)=2在[1/2,2]上有解，求实数a的取值范围？

Answer 1

解:1.当a =0时，定义域为Q=(-∞,1),显然满足P∩Q≠空集。
当a≠0时，P∩Q≠空集意即:不等式 ax^2-2x+2＞0在区间[1/2,2]内有解.
也就是不等式 a-2/x+2/x^2＞0 有解，
设y=a-2/x+2/x^2=2(1/x-1/2)^2-1/2+a 则当 x∈[1/2,2]时，
y=2(1/x-1/2)^2-1/2+a 单减，y∈[a-1/2,a+4],
所以要使a-2/x+2/x^2＞0在区间[1/2,2]内有解，只需 a+4＞0，即a＞-4

2.方程log2(ax^2-2x+2)=2在[1/2,2]上有解 ，也就是ax^2-2x+2=4 即：
ax^2-2x-2=0 在[1/2,2]上有解。
当a=0时，x=-1不满足条件
当a≠0时，方程ax^2-2x-2=0 在[1/2,2]上有解，也就是方程
2(1/x+1/2)^2-1/2-a=0 在[1/2,2]上有解。
（同上处理）因为x∈[1/2,2]时，2(1/x+1/2)^2-1/2-a∈[3/2-a,12-a]
所以方程2(1/x+1/2)^2-1/2-a=0 在[1/2,2]上有解，就是0∈[3/2-a,12-a]
所以a∈[3/2,12]

注：此法避免了讨论，为了便于理解，还可以用下述方法：
第一问：设“不等式 a-2/x+2/x^2＞0 在[1/2,2]上有解”时a的集合是A
设“x∈[1/2,2]时，不等式 a-2/x+2/x^2≤0恒成立”时a的集合是B，那么 A与B是互补的；
第二问：2(1/x+1/2)^2-1/2-a=0 在[1/2,2]上有解，即
2(1/x+1/2)^2-1/2=a 在[1/2,2]上有解，构造函数为y=2(1/x+1/2)^2-1/2更好.

Answer 2

【注：换元，反解。是解决该问题的较好的方法。】（一）∵P∩Q不空，∴存在实数t,1/2≤t≤2,使得at²-2t+2＞0.<===>a/2＞(t-1)/t².故问题可化为求函数f(t)=(t-1)/t²在[1/2,2]上最小值即可。f(t)=(1/t)-(1/t)²=-[(1/t)-(1/2)]²+(1/4).1/2≤1/t≤2.∴当t=2时，f(t)min=-2,∴a/2＞-2,===>a＞-4.(二）∵1/2≤x≤2,∴㏒2（ax²-2x+2)=2.<===>ax²-2x+2=4.<===>a/2=(x+2)/x².<===>2/a=x²/(x+1)=[(x+1)²-2(x+1)+1]/(x+1)=(x+1)-2+[1/(x+1)].<===>(2/a)+2=(x+1)+[1/(x+1)].∵1/2≤x≤2,∴3/2≤x+1≤3.故问题可化为求函数f(x)=x+(1/x)在[3/2,3]上的值域即可，由“对勾函数”单调性可知，当3/2≤x≤3时，f(3/2)≤f(x)≤f(3),即13/6≤f(x)≤10/3.===>13/6≤(2/a)+2≤10/3.===>1/6≤2/a≤4/3.===>3/2≤a≤12.∴a∈[3/2,12]

Answer 3

第一问：
即求令f(x)=ax^2-2x+2>0;有：
1、a=0,显然成立；
2、a<0,有delta(判别式)>0，且
(1)对称轴1/a<=1/2且f(1/2)<=0;
(2)1/a>=2且f(2)<=0;
以上两集合在a<0,delta>0情况下的补集，也就是不属于(1)(2)但a<0,delta>0；（-4，0);
3、a>0情况下,f(1/2)<0,f(2)<0的补集；（0，正无穷）
1、2、3取交集即可得a范围。（-4，正无穷）采用去除不可能情况的思想
第二问：
题目即g(x)=ax^2-2x-2=0在该区间有解；
1、a=0时不合题意；
2、a<0若无解，delta<0或
delta>=0:即0>a>=-1/2;
(1)、1/a<1/2且g(1/2)<0;
(2)、1/2<=1/a<=2，且g(1/2)>0,g(2)>0;（不存在）
(3)、1/a>2,且g(2)<0;（不存在）
所以a<0不合题意；
3、a>0若无解 delta<0（不存在）或
delta>0:即a>0
(1)、1/a<1/2且g(1/2)>0;
(2)、1/2<=1/a<=2，且g(1/2)<0,g(2)<0;
(3)、1/a>2,且g(2)>0;
所以a范围[3/2,12]

Answer 4

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已知集合P=[1/2,2],，函数y=log2(ax^2-2x+2)的定义域为Q, 1.若P∩Q≠空集，求实数取值范围。 2 若方程log2
悬赏分：110 - 离问题结束还有 20 天 13 小时
已知集合P=[1/2,2],，函数y=log2(ax^2-2x+2)的定义域为Q,
1.若P∩Q≠空集，求实数取值范围。
2 若方程log2(ax^2-2x+2)=2在[1/2,2]上有解，求实数a的取值范围？

提问者： cindy派 - 四级
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第一问：
即求令f(x)=ax^2-2x+2>0;有：
1、a=0,显然成立；
2、a<0,有delta(判别式)>0，且
(1)对称轴1/a<=1/2且f(1/2)<=0;
(2)1/a>=2且f(2)<=0;
以上两集合在a<0,delta>0情况下的补集，也就是不属于(1)(2)但a<0,delta>0；（-4，0);
3、a>0情况下,f(1/2)<0,f(2)<0的补集；（0，正无穷）
1、2、3取交集即可得a范围。（-4，正无穷）采用去除不可能情况的思想
第二问跟第一问一样啊，P交Q不空，则[1/2,2]内一定能找到数在定义域内，也就是有解了

回答者： 469370548 - 二级 2010-11-5 22:46

解:1.当a =0时，定义域为Q=(-∞,1),显然满足P∩Q≠空集。
当a≠0时，P∩Q≠空集意即:不等式 ax^2-2x+2＞0在区间[1/2,2]内有解.
也就是不等式 a-2/x+2/x^2＞0 有解，
设y=a-2/x+2/x^2=2(1/x-1/2)^2-1/2+a 则当 x∈[1/2,2]时，
y=2(1/x-1/2)^2-1/2+a 单减，y∈[a-1/2,a+4],
所以要使a-2/x+2/x^2＞0在区间[1/2,2]内有解，只需 a+4＞0，即a＞-4

2.方程log2(ax^2-2x+2)=2在[1/2,2]上有解 ，也就是ax^2-2x+2=4 即：
ax^2-2x-2=0 在[1/2,2]上有解。
当a=0时，x=-1不满足条件
当a≠0时，方程ax^2-2x-2=0 在[1/2,2]上有解，也就是方程
2(1/x+1/2)^2-1/2-a=0 在[1/2,2]上有解。
（同上处理）因为x∈[1/2,2]时，2(1/x+1/2)^2-1/2-a∈[3/2-a,12-a]
所以方程2(1/x+1/2)^2-1/2-a=0 在[1/2,2]上有解，就是0∈[3/2-a,12-a]
所以a∈[3/2,12]

注：此法避免了讨论，为了便于理解，还可以用下述方法：
第一问：设“不等式 a-2/x+2/x^2＞0 在[1/2,2]上有解”时a的集合是A
设“x∈[1/2,2]时，不等式 a-2/x+2/x^2≤0恒成立”时a的集合是B，那么 A与B是互补的；
第二问：2(1/x+1/2)^2-1/2-a=0 在[1/2,2]上有解，即
2(1/x+1/2)^2-1/2=a 在[1/2,2]上有解，构造函数为y=2(1/x+1/2)^2-1/2更好.

回答者： ysf819036978 - 五级 2010-11-6 00:14

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