Question

求不等式在x+9/x-2m²+m＜0在[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围

Answer 1

f(x)=x+9/x-2m²+m
f'(x)=1-9/x^2
在[1,5]区间，x∈[1,3)时f'(x)＜0，单调减；x∈（3,5]时，f'(x)＞0，单调增。
欲使在[1,5]上x+9/x-2m²+m＜0，只要f(1)＜0，f(5)＜0即可：
f(1)=1+9/1-2m^2+m=10-2m^2+m
f(5)=1+9/5-2m^2+m=2.8-2m^2+m
f(5)＜f(1)，所以只需f(1)＜0即可：
10-2m^2+m＜0
2m^2-m-10＞0
(m+2)(2m-5)＞0
m＜-2或m＞2.5

Answer 2

在解答恒成立问题时，第一个最容易想到的是参数与未知数的分离；
本题就是m与x的分离
∴分离后：x+9/x＜2m²-m恒成立；
只需要知道x+9/x在[1,5]上的取值范围，就可以求出2m²-m的取值范围了。
∵f（x）=x+9/x在[1,3]上减函数；在[3,5]上增函数（关于增减性可以用定义f（x1）-f（x2）来证明，或者判断导数f片x的正负）
∴x+9/x的取值范围是：[6,10]
∴x+9/x＜2m²-m恒成立；需要2m²-m＞10
2m²-m-10＞0
m＞5/2或m＜-2