Question

1×2×3×…从2022×2023的积的末尾一共有多少个零

Answer 1

问：1×2×3×…从2022×2023的积的末尾一共有多少个零

答：3125 要使一个数的末尾出现零，它必须包含10这个因数。而10可以分解为2×5。因此，我们只需考虑1×2×3×…×2022×2023的积中因子2和5的数量。 首先，因子2的数量肯定多于因子5的数量，因为2的倍数比5的倍数多。所以，我们只需计算因子5的数量。假设这个积的因子中含有k个5，问题就转化为计算2022×2023中有多少个5的因子。 2022×2023中含有的5的个数可以分为两部分：一部分是数字本身含有5，如2025、2030、2035、2040等；另一部分是数字可以分解出因子5，例如5×404、10×202、15×135等。 第一部分有5个5的因子，即5^5。 第二部分中，2022÷5=404、2023÷5=404余3，所以在2022和2023中分别有404个5的因子，共808个5的因子。 因此，2022×2023中含有5的因子的数量为5^5 + 808 = 3125。 最终，我们得到1×2×3×…×2022×2023的积末尾含有3125个零。

答： 相关拓展： 我们可以进一步推广这个问题，考虑求解1×2×3×…×n的积末尾有多少个零。 我们知道，一个数的末尾有多少个零，取决于其分解质因数后2和5的个数的较小值。因为在一个数的因子中，因子2的个数总是比因子5的个数多，所以末尾会有多少个零，就取决于因子5的个数了。 考虑对1到n中的所有数做质因数分解，其中每个数可以表示为2的指数和5的指数的和，即n=2^a × 5^b，其中a表示因子2的个数，b表示因子5的个数。 则1到n中，因子5的个数计算公式为： b = # n/5# + # n/25# + # n/125# + … 其中，# n/5#表示不大于n的数中，能被5整除的数的个数，# n/25#表示不大于n的数中，能被25整除的数的个数，以此类推。 例如，当n=10时，1到10中因子5的个数为2，因为可以表示成5、10两个数中均含有因子5。当n=2时，1到24中因子5的个数为4，因为可以表示成5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100、105、110、115、120、125、共24个数中均含有因子5。 因此，当n=

答：当n=2022×2023时，因子5的个数为3125，即1×2×3×…×2022×2023的积末尾含有3125个零。当n为其他值时，可以使用类似的方法求解。