Question

L为取正向的圆周，x^2+y^2=R^2，求曲线积分∮xy^2dy-x^2ydx的值（答案是πR^4/2）

下面是某网友的解答：

xy^2=Q(x)
-x^2ydx=P(x)
利用格林公式
∮xy^2dy-x^2ydx=二重积分(dQ/dx-dp/dy)dxdy=二重积分(x^2+y^2)dxdy=R^2二重积dxdy=R^2*πR^2/2
=πR^4/2 因为取得正向圆周，所以二重积dxdy=圆面积的一半。
我的问题是：为什么面积取一半？

Answer 1

因为取格林公式后，由线积分变成面积分，二重积分(x^2+y^2)dxdy，(x^2+y^2)不能用圆周方程
x^2+y^2=R^2替换，因为不在线上一重积分了，改为在圆面上二重积分了，应该用极坐标计算，r^2.rdr积分再乘以2pi.

Answer 2

我错了，原谅我吧