Question

已知{An}为等比数列，其前n项和为Sn，且Sn=2的n次方+a（n属于正整数）。

（1）求a的值及数列{An}的通项公式。
（2）若Bn=(2n_1)An，求数列{Bn}的前n项和Tn

Answer 1

（1）
Sn=2^n+a
当n=1时，A1=2+a
当n=2时，A1+A2=S2=4+a
那么A2=2
当n=3时，A1+A2+A3=S3=8+a
那么A3=4
∵{An}为等比数列
∴A2/A1=A3/A2
∴2/(2+a)=4/2=2
∴a=-1
A1=1,公比q=2
An=2^(n-1)
(2)
Bn=(2n-1)2^(n-1)
Tn=1+3*2+5*2^2+.....+(2n-1)2^(n-1) ①
两边同时乘以2
2Tn=2+3*2^2+5*2^3+...+(2n-3)2^(n-1)+(2n-1)2^n ②
①-②：
-Tn=1+2[2+4+....+2^(n-1)]-(2n-1)2^n
=1+4[2^(n-1)-1]-(2n-1)2^n
=-3-(2n-3)2^n
∴Tn=3+(2n-3)2^n

Answer 2

解：1、
当n≥2 时，有an=Sn-S(n-1)
所以an=2^n+a-2^(n-1)-a=2^(n-1)
当n=1时，由sn=2^n+a得a1=S1=2+a
由an=2^(n-1)得a1=1
要使数列{an}是等比数列，则2+a=1
所以a=-1
数列{an}的通项公式是an=2^(n-1)
2、bn=(2n-1)an=(2n-1)*2^(n-1)=n*2^n-2^(n-1)
设数列{n*2^n}前n项和为Pn,数列{2^(n-1)}前n项和为Qn
则Pn=2+2*2^2+3*2^3+......+n*2^n
2Pn=2^2+2*2^3+3*2^4+....+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
上两式错项相减得
-Pn=2+2^2+2^3+.....+2^n-n*2^(n+1)
-Pn=2(2^n-1)-n*2^(n+1)
Pn=(n-1)*2^(n+1)+2
Qn=1+2+2^2+....+2^(n-1)=2^n-1
于是Tn=Pn-Qn=(n-1)*2^(n+1)+2-(2^n-1)
即Tn=(2n-3)*2^n+3