Question

三阶方阵求其特征值，需要解一个三阶方阵行列式等于零的方程，而且对角元都带未知数。。。怎么解这个方程

三阶方阵求其特征值，需要解一个三阶方阵行列式等于零的方程，而且对角元都带未知数。。。怎么解这个方程？
求一般方法，把未知数放在哪，怎么消掉等等。或者通过初等变换的方法得出来也行。

别说乘开再因式分解。

谢谢。

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Answer 1

到百度文库去下载一篇文章，名曰《特征值新求法》，讲到了5种。
在百度文库或百度搜索
特征值新求法
可以找到这篇。

方法A（我参考有关资料，略有补充）
是利用特征值的定义，先求|kE-A|=0解出特征值k,再据(kE-A)x=0求出特征向量x.
这种方法之中，求|kE-A|其实也有几种套路。
首先注意|kE-A|=(-1)^3*|A-kE|，|kE-A|=0<=>|A-kE|=0;
还可以取s=-k,先解出|A+sE|=0，再取-s为特征值。这当然只是细节。其它见下面：
方法A1：利用对角线法则或按行列展开是最基本的；
方法A2：设法进行初等变换使之能提取公因式，这种方法不一定牢靠，因为有些行列式不一定能分解，但一般出题时是不会出这么难的，会给你分解因式的机会的，可以试一试；
方法A3：
如果A是3阶矩阵, |λE-A|=λλλ-tr(A)λλ+tr(A*)λ-det(A).
其中：
tr(A)=一阶主子式之和，即主对角线元素之和，称为矩阵的迹。
tr(A*)=二阶主子行列式之和，对于三阶矩阵，同时也是主对角线元素的余子式之和，也等于A的伴随阵的行列式。A*表示A的伴随阵。det(A)即|A|，对于n阶矩阵，|A|就是唯一的一个n阶主子式。
主子式：取对称位置的元素(当然也包括对角线上的)所构成的(方阵的)行列式。
或者说，对角线是原方阵的对角线元素的子集的(方阵的)行列式。
推广到n阶方阵：|λE-A|=λ^n+(-1)^k*(A的所有k阶主子式之和)*λ^(n-k).
例如：
如果A是1阶矩阵(a), |λE-A|=λ-a, 易见特征值就是a.
如果A是2阶矩阵, |λE-A|=λλ-tr(A)λ+det(A).
如果A是4阶矩阵, |λE-A|=λλλλ-tr(A)λλλ+cλλ-tr(A*)λ+det(A),
其中c是所有二阶主子式之各，另外有c = ((tr(A))^2-tr(AA))/2.

方法B、C：
方法B：幂法，方法C：反幂法，利用迭代来求解特征值，适于数值计算。
方法D：
列行互逆变换法。
方法E：
列初等变换法。

其中方法A3, D, E可以考虑。试试看？